Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Bước 3.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Bước 3.3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Bước 3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Bước 3.3.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Bước 3.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{y}}{2}$ vào tử số.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$5 - e^{y} = 2 x$

Bước 3.4

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $- e^{y} = 2 x - 5$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{y} = 2 x - 5$ cho $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.2.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (2 x)$ ở dạng $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.3.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Bước 3.5.3.1.4

Chia $- 5$ cho $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Bước 3.6

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Bước 3.7

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Bước 3.7.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Bước 3.7.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.6

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{x}}{2}$ vào tử số.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Bước 5.2.3.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Bước 5.2.3.7.4

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Bước 5.2.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Bước 5.2.3.9

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 5 + e^{x} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Bước 5.2.4.2

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.5

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Bước 5.2.6

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Bước 5.2.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (- 2 x + 5))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Bước 5.3.3.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Bước 5.3.3.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Bước 5.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5 + 2 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Bước 5.3.4.1.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Bước 5.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$